Nel 1890 il matematico Giuseppe Peano (1858-1932) pubblicò un articolo dal titolo "Sur une courbe qui remplit toute une aire plaine" in cui presentava una curva che aveva la strana proprietà di riempire tutto un quadrato. Questo fatto lasciò molto perplessi poiché, per definizione, una curva è un ente geometrico ad una sola dimensione, mentre il quadrato ha due dimensioni. Eppure, la curva di Peano passa per tutti i punti del quadrato.
Vediamo come può essere costruita questa curva tramite le trasformazioni affini.
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La figura di partenza è un segmento di lunghezza unitaria (fig.1). Ad esso vengono applicate nove trasformazioni affini della forma
che permettono di ottenere la figura seguente (fig. 2). I coefficienti delle nove trasformazioni sono i seguenti ( l'intervallo di partenza della fig.1 ha lunghezza unitaria ):
| Trasformazione | a | b | c | d | e | f |
| 1 | 1/3 | 0 | 0 | 1/3 | 0 | 0 |
| 2 | 1/3 | 0 | 0 | 1/3 | 1/3 | 0 |
| 3 | 0 | 1/3 | 1/3 | 0 | 2/3 | 0 |
| 4 | 1/3 | 0 | 0 | 1/3 | 1/3 | 1/3 |
| 5 | 0 | 1/3 | 1/3 | 0 | 1/3 | 0 |
| 6 | 0 | 1/3 | 1/3 | 0 | 1/3 | -1/3 |
| 7 | 1/3 | 0 | 0 | 1/3 | 1/3 | -1/3 |
| 8 | 0 | 1/3 | 1/3 | 0 | 2/3 | -1/3 |
| 9 | 1/3 | 0 | 0 | 1/3 | 2/3 | 0 |
Nella figura 2 sono evidenziate le nove trasformazioni ed il verso di percorrenza della curva. Le trasformazioni 1, 2, 4, 7, 9 sono delle omotetie di rapporto 1/3 composte con opportune traslazioni.
Ognuna delle trasformazioni 3, 5, 6, 8 si ottiene invece componendo una omotetia di rapporto 1/3 con una rotazione secondo un angolo di 90 gradi e un'opportuna traslazione.
Continuando il processo di iterazione la curva riempie tutto il quadrato. La costruzione della curva qui proposta ha come elemento di partenza la diagonale del quadrato.
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Il risultato finale è il seguente quadrato (che ovviamente è un frattale). Nota che in questo caso, a differenza dei precedenti, non è importante il frattale ma il modo in cui lo abbiamo ottenuto.
E' interessante confrontare la Curva di Peano è con la Curva di Hilbert .
Può essere interessante osservare cosa accade sopprimendo una delle trasformazioni usate per ottenere la curva di Peano, per la precisione la numero 2.
Il risultato che si ottiene alla fine è la cosiddetta Spugna di Sierpinski ruotata di 45 gradi, molto simile per costruzione al Triangolo di Sierpinski:
