Il triangolo di Sierpinski.

Fra i primi frattali studiati, un posto d'onore occupa il cosiddetto triangolo di Sierpinski (o Gerla di Sierpinski), dal nome del matematico che per primo ne ha studiato le proprietà. Si tratta di un frattale molto semplice da ottenere anche per via geometrica elementare. Da un punto di vista strettamente geometrico viene generato con una serie di rimozioni. Si inizia con un quadrato pieno (fig. 2) da cui si rimuove un quadratino di lato pari alla metà del quadrato iniziale, in modo da ottenere la figura 3, formata da tre quadrati. Da ciascuno di questi quadrati si elimina il quadratino in basso a destra e si ottiene una figura formata da nove quadratini (fig. 4). In questo modo si continua ogni volta fino ad arrivare al risultato finale. Nelle figure seguenti possiamo osservare i primi 6 passi necessari per ottenere il frattale.

(fig. 1)

Passo 0 (fig. 2)	Passo 1 (fig. 3)	Passo 2 (fig. 4)
Passo 3 (fig. 5)	Passo 4 (fig. 6)	Passo 5 (fig. 7)

Se volessimo animare la sequenza otterremo il seguente risultato:

Per ottenere il triangolo di Sierpinski usando le affinità basta usare le seguenti tre trasformazioni:

L'origine del sistema di riferimento è posto nel vertice in basso a sinistra del quadrato di partenza. Nota che è T₁ un'omotetia di ragione 1/2, T₂ è un'omotetia di ragione 1/2 composta con una traslazione secondo il vettore (0, 1/2), T₃ è un'omotetia di ragione 1/2 composta con una traslazione secondo il vettore (1/2, 1/2).

Infine nella fig. 8 è evidente l'autosimilarità: la figura si può dividere in tre parti tutte e tre simili all'intero frattale. Nota che la trasformazione T₁ genera la parte in blu, la T₂ la parte in rosso e T₃ quella in verde.

Varrebbe la pena confrontare questa costruzione con quella della Spugna di Sierpinski.

La scelta della figura di partenza è irrilevante: nel sito sono presenti altri esempi di costruzione ottenuta a partire da insiemi di punti diversi.