Il matematico Hilbert (1862-1943) studiò una curva simile alla curva già studiata da Peano. Si tratta di una curva costruita tramite un processo iterativo che finisce per riempire l'intero quadrato di lato unitario.
Ci sono però delle importanti differenze con la curva di Peano. La costruzione seguente non può essere ottenuta applicando un certo numero di trasformazioni geometriche. Basta infatti osservare che i passi della costruzione non sono autosimili, ovvero non sono divisibili in un numero di parti simili all'intera figura. Per ottenere la Curva non si può quindi ricorrere alla tecnica degli IFS ma bisogna utilizzare un'altra tecnica, quella degli L-system.
Nella tabella successiva i primi passi. La figura di partenza è una poligonale. (fig.1).
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Il risultato finale è un quadrato di lato unitario (che ovviamente è un frattale). Anche in questo caso, come per la curva di Peano, non è importante il frattale ma il modo in cui lo abbiamo ottenuto.
Esistono anche altri modi più semplici per generare la curva di Hilbert. Si può ad esempio utilizzare anche un qualsiasi foglio di calcolo come ad esempio Microsoft Excel. Basta infatti calcolare calcolare i vertici dalla curva e tracciare poi il grafico della curva. Al passo 0 i vertici sono 4, al passo 1 sono 16, al passo 2 sono 64, al passo K i vertici sono 4k+1. Nella figura seguente si può osservare il passo 2 ottenuto con questa tecnica.
I punti del grafico sono contenuti nella seguente tabella. Si tratta di 64 punti dell'insieme [0 ; 7] x [0 ; 7].
| x | y |
| 0 | 0 |
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 1 | 0 |
| 2 | 0 |
| 3 | 0 |
| 3 | 1 |
| 2 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 2 |
| 3 | 3 |
| 2 | 3 |
| 1 | 3 |
| 1 | 2 |
| 0 | 2 |
| 0 | 3 |
| 0 | 4 |
| 1 | 4 |
| 1 | 5 |
| 0 | 5 |
| 0 | 6 |
| 0 | 7 |
| 1 | 7 |
| 1 | 6 |
| 2 | 6 |
| 2 | 7 |
| 3 | 7 |
| 3 | 6 |
| 3 | 5 |
| 2 | 5 |
| 2 | 4 |
| 3 | 4 |
| 4 | 4 |
| 5 | 4 |
| 5 | 5 |
| 4 | 5 |
| 4 | 6 |
| 4 | 7 |
| 5 | 7 |
| 5 | 6 |
| 6 | 6 |
| 6 | 7 |
| 7 | 7 |
| 7 | 6 |
| 7 | 5 |
| 6 | 5 |
| 6 | 4 |
| 7 | 4 |
| 7 | 3 |
| 7 | 2 |
| 6 | 2 |
| 6 | 3 |
| 5 | 3 |
| 4 | 3 |
| 4 | 2 |
| 5 | 2 |
| 5 | 1 |
| 4 | 1 |
| 4 | 0 |
| 5 | 0 |
| 6 | 0 |
| 6 | 1 |
| 7 | 1 |
| 7 | 0 |
Nella figura seguente invece il passo 3, corrispondente a 256 punti
Con il seguente link puoi scaricare il file in formato xls per studiare con Excel la Curva di Hilbert .
Se volessimo rappresentare la curva nello spazio, otterremmo una figura come quella che segue. Ad ogni passo la tartaruga che disegna la curva si alza anche rispetto all'asse z:
