Come già detto nell'introduzione ai frattali è molto difficile dare una definizione generale di frattale. La definizione più semplice di frattale è quella di frattale IFS ma esistono altri tipi di frattali fra cui i Frattali LS che rivestono una particolare importanza, soprattutto in biologia.
LS sta per Lindenmayer-System dal nome dello studioso che li ha introdotti negli anni 60 per descrivere i fenomeni di crescita delle piante. I Frattali LS possono essere visti come una generalizzazione di quelli IFS. Questo vuol dire che tutti i frattali IFS sono anche LS, ma non è vero il viceversa.
Vediamo un esempio di frattale LS che però non è un frattale IFS: il frattale Fiocco di neve. Non è un frattale IFS poiché non è possibile suddividere la figura in un numero di copie nella figura stessa: ovvero non è autosimile. D'altra parte è possibile, però dividere la figura in tre copie del merletto di Koch, che è un frattale IFS.
Possiamo dare di un frattale LS la seguente definizione:
un frattale LS è una figura che si può dividere in un numero finito di frattali IFS.
Risulta quindi non autosimile, ma autosimile in senso generalizzato.
A questo punto, è naturale chiederci come sia possibile ottenere una figura del genere. La tecnica è completamente diversa da quella usata per gli IFS. Non useremo trasformazioni geometriche ma piuttosto un nuovo strumento che possiamo chiamare tartaruga.
La tartaruga si muove sullo schermo lasciando una traccia che formerà il frattale. E' però in grado di compiere solo un numero molto limitato di movimenti: può spostarsi in linea retta di fronte a sè tracciando una linea, può spostarsi in linea retta senza tracciare alcun segno, può ruotare in senso orario, può ruotare in senso antiorario. Si tratta di 4 movimenti elementari che ordiniamo alla tartaruga di compiere.
In simboli questi movimenti sono indicati con:
- F
- Muoviti in avanti lasciando una traccia.
- f
- Muoviti in avanti senza lasciare traccia.
- +
- Ruota in senso antiorario di un angolo alfa.
- -
- Ruota in senso orario di un angolo alfa.
Facciamo un esempio. Fissiamo come angolo alfa = 90°. Supponiamo di far muovere la tartaruga secondo il comando: F + F - F + f - F - F F. La tartaruga, partendo da sinistra lascerà una traccia come nella seguente figura:
Il frattale si ottiene come nel caso degli IFS per passi successivi. Ogni volta la tartaruga traccerà una figura più articolata e più vicina al risultato finale.
Analizziamo come ottenere il Merletto di Koch attraverso questa tecnica.
Anche in questo caso avremo una serie di passi successivi.
Passo 0 (fig. 2) |
Questa è la configurazione di partenza. Possiamo pensare di ottenere la figura semplicemente ordinando alla tartaruga di muoversi in linea retta di un tratto di lunghezza 1. Fissiamo dei parametri iniziali l=1, un angolo alfa = 60°, un fattore di riduzione (o di omotetia) K = 3. L'ordine che impartiremo alla tartaruga sarà quindi: F |
Passo 1 (fig. 3) |
Per ottenere il passo successivo, riposizioniamo di nuovo la tartaruga nel punto iniziale e impartiamole l'ordine di sostituire il tratto rettilineo con il seguente cammino: F + F - - F + F La tartaruga traccerà una linea di lunghezza 1/3 e ruoterà su se stessa secondo un angolo alfa=60°. |
Passo 2 (fig. 4) |
Posizioniamo ancora la tartaruga nel punto iniziale ed ordiniamole ancora di sostituire ciascun tratto rettilineo F con il cammino F + F - - F + F come nel passo precedente. Il cammino della tartaruga è stavolta descritto dalla sequenza: F + F - - F + F + F + F - - F + F - - F + F - - F + F + F + F - - F + F |
Passo 3 (fig. 5) |
Nello stesso modo si procede per ottenere la figura del passo 3. |
Passo 4 (fig. 6) |
Andando avanti nella costruzione, la figura risulta sempre più frastagliata ed il numero dei lati cresce in maniera esponenziale. La sequenza delle figure è del tutto analoga a quella ottenuta con le trasformazioni geometriche. |
Se volessimo formalizzare quanto visto sopra si potrebbe dire che il procedimento è ben definito una volta fissati un seme iniziale (ovvero la configurazione di partenza del passo 0), un fattore di omotetia K, un angolo alfa ed una legge di sostituzione. Nel caso del merletto di Koch si ha:
- Seme iniziale
- F
- Fattore di omotetia
- 3
- Angolo
- 60°
- Legge di sostituzione
- F -> F + F - - F + F
Per ottenere il fiocco di Neve di Koch come frattale LS si procede in modo analogo al merletto di Koch. Le leggi saranno le seguenti:
- Seme iniziale
- F - - F - - F
- Fattore di omotetia
- 3
- Angolo
- 60°
- Legge di sostituzione
- F -> F + F - - F + F
La differenza è data unicamente dal seme iniziale: nel primo caso si tratta di un segmento, nel secondo di un triangolo equilatero.
Notiamo che un frattale LS è determinato dalle leggi che fissano il seme, l'angolo, Il fattore di omotetia e le legge di sostituzione nello stesso modo in cui un frattale IFS è determinato dalle trasformazioni geometriche.