Definizioni fondamentali.
Il merletto di Koch deve il suo nome al matematico H. Von Koch che lo introdusse in un articolo pubblicato nel 1904, prima quindi che venisse introdotto il concetto di frattale come lo intendiamo oggi. All'epoca fu visto come una curva dalle proprietà curiose, per non dire patologiche. Vediamo come viene costruito, facendo uso unicamente di tecniche di geometria elementare.
Passo 0 (fig. 2) |
Come figura di partenza, si considera l'intervallo [0,1]. |
Passo 1 (fig. 3) |
L'intervallo viene diviso in tre parti di uguale ampiezza. La parte centrale viene soppressa ed al suo posto vengono inseriti due lati di un triangolo equilatero. Si ottiene così la figura accanto. |
Passo 2 (fig. 4) |
La stessa costruzione si ripete per ognuno dei quattro segmenti che formano la figura precedente. |
Passo 3 (fig. 5) |
Nello stesso modo si procede per ognuno degli 12 segmenti della figura del passo 2. |
Passo 4 (fig. 6) |
Andando avanti nella costruzione, la figura risulta sempre più frastagliata ed il numero dei lati cresce in maniera esponenziale. La lunghezza della curva, al crescere del numero delle iterazioni tende a diventare infinita, mentre l'area racchiusa tende ad un valore finito. Il risultato finale è quello della figura 1. |
Nell'immagine seguente compare l'intera sequenza animata:
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Vediamo ora un altro tipo di approccio: quello basato sull'uso delle trasformazioni affini.
Per ottenere il merletto di Koch usando le affinità basta usare le seguenti quattro trasformazioni:
T1:
;
T2:
;
T3:
;
T4:
.
L'origine del sistema di riferimento è posto nel vertice in basso a sinistra della figura di partenza. Nota che è T1un'omotetia di ragione 1/3, T2 è un'omotetia di ragione 1/3 composta con una rotazione di 60 gradi in senso antiorario ed una traslazione secondo il vettore (1/3,0). T3è un'omotetia di ragione 1/3 composta con una rotazione ed una traslazione secondo il vettore (2/3, 0). Infine T4 è un'omotetia di ragione 1/3 composta con una traslazione secondo il vettore (2/3,0).
Nella fig. 7 è evidente l' autosimilarità: la figura si può dividere in quattro parti tutte e quattro simili all'intero frattale. Nota che la trasformazione T1 genera la parte in blu, la T2 la parte in verde, T3 quella in rosa, T4 quella in rosso.
Dal merletto si può ottenere il cosiddetto fiocco di neve.
Software scaricabile
Ho implementato un programma molto semplice in Delphi per analizzare meglio la costruzione del merletto di Koch. Il programma è proposto come freeware per uso non commerciale. Si tratta di un unico file scaricabile in formato zip ed utilizzabile in ambiente Windows.
Scarica il programma
