La costruzione classica del Merletto di Koch è basata sull'uso di quattro trasformazioni geometriche, per l'esattezza 4 similitudini le cui equazioni sono le seguenti:
T1:
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T2:
;
T3:
;
T4:
.
Il numero di trasformazioni usate è sovrabbondante. Per verificare questo, applichiamo al frattale il teorema del Collage di Barnsley per determinare il numero di trasformazioni necessarie. In questo modo notiamo che il frattale si può suddividere in due sole parti simili all'intera figura.
Di conseguenza, il merletto di Koch è generabile con due sole trasformazioni geometriche. Le equazioni sono le seguenti (valori approssimati alla terza cifra decimale):
E' naturale chiedersi se queste trasformazioni affini siano associate ad una costruzione di tipo geometrico come accade nel caso classico. Questo è possibile, procedendo nel modo seguente.
L'insieme di partenza è, come nella costruzione classica, il segmento di lunghezza unitaria (nella figura seguente in nero). Sostituiamo a questo segmento due nuovi segmenti di uguale lunghezza (in rosso in figura). Inoltre disegniamo i segmenti in modo tale che, essi formino con il segmento di partenza un triangolo con gli angoli alla base pari a 30 gradi. Questo implica che il triangolo sia isoscele e che i due segmenti siano lunghi ciascuno
.
A questo punto è facile ricostruire le trasformazioni affini legate a questa costruzione. A ciascuno dei due segmenti è associata una similitudine.
La prima trasformazione associata sarà è un'omotetia di ragione
composta con una rotazione secondo l'angolo
q=210° ed una traslazione secondo il vettore di componenti v= (-
;
). La seconda trasformazione associata è un'omotetia di ragione
composta con una rotazione secondo l'angolo
q=-210° ed una traslazione secondo il vettore di componenti v= (+;).
Nel sistema di riferimento scelto, il segmento iniziale è l'insieme di punti [-0.5,0.5]x{0}, per cui l'origine del sistema di riferimento è posta nel punto medio del segmento.
Vediamo in dettaglio la costruzione passo per passo. Il passo 0 è il segmento iniziale.
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Passo 0
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Passo 1
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La costruzione continua in questo modo, sostituendo a ciascuno dei segmenti già ottenuti, due nuovi segmenti formanti con quello iniziale un triangolo avente gli angoli alla base di 30 gradi. Il triangolo è costruito ogni volta nella parte convessa degli angoli della figura.
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Passo 2
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Passo 3
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Passo 4
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Passo 5
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Passo 6
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Passo 7
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Notiamo che i passi di indice pari costituiscono la costruzione classica del frattale. Costruire il frattale solo con due trasformazioni invece di quattro comporta che la costruzione sia più lenta della costruzione classica.
Se rappresentassimo infine in un unico disegno tutti i passi della costruzione, otterremmo la figura seguente:
La
dimensione
del Merletto di Koch così ottenuto coincide ovviamente con quella della costruzione classica poiché si ha:
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