Un altro modo di caratterizzare un frattale è quello di definirne la dimensione.
Infatti, un frattale può essere definito come un oggetto a dimensione frazionaria.
Il concetto di dimensione di un oggetto è abbastanza familiare. Ad esempio un segmento ha dimensione 1, un quadrato ha dimensione 2 ed un cubo ha dimensione 3. Cerchiamo ora di dare una definizione più rigorosa al concetto di dimensione. Per fare questo useremo la definizione di autosimilarità.
Ricordo che un oggetto è autosimile quando può essere diviso in un certo numero di parti simili alla figura intera. Ad esempio un segmento può essere diviso in N parti simili al segmento intero, ciascuna parte di lunghezza 1/ N. Un quadrato può essere diviso in N2 parti simili al quadrato intero. Ciascuno di questi quadratini più piccoli avrà area pari a 1/N2 del quadrato grande. Un cubo può essere diviso in N3 cubi più piccoli; ciascuno avrà volume pari ad 1/N3 del cubo iniziale. In questi casi la dimensione è data dall'esponente di N.
Vediamo la definizione generale. Supponiamo di considerare un frattale in cui possiamo distinguere N copie autosimili. Ciascuna di queste copie si ottiene tramite un'omotetia di rapporto K. La dimensione frattale D viene definita nel seguente modo:
D = log N / log (1/K)
Nei tre esempi visti sopra K = 1/N. Di conseguenza otteniamo:
Dsegmento= log N / log(N)=1;
Dquadrato= log(N2) / log(N)=2;
Dcubo= log(N3) / log (N)=3.
Se applichiamo questo procedimento al triangolo di Sierpinski, otteniamo:
D=log 3 / log 2 = 1,585
Infatti, il triangolo di Sierpinski può essere diviso in 3 parti simili all'intero triangolo. Ciascuna di esse si ottiene grazie ad un'omotetia di rapporto K=1/2.
Considerando invece il merletto di Koch, otteniamo:
D=log 4 / log 3 = 1,262
Infatti, il merletto di Koch può essere diviso in 4 parti simili all'intero frattale. Ciascuna di esse si ottiene grazie ad un'omotetia di rapporto K=1/3.
In entrambi i casi si tratta di numeri frazionari compresi fra 1 e 2. Possiamo dire che la dimensione ci dà un'idea di quanto il frattale riempia il piano. Frattali di dimensione prossima ad 1 saranno simili ad una curva, frattali di dimensione prossima a 2, tenderanno ad occupare tutto il piano.