Definizioni
Una simmetria centrale è un tipo particolare di trasformazione affine. Vediamo come viene definita.
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Fissiamo un punto del piano cartesiano C che chiameremo centro di simmetria di coordiante C=(xc,yc). La trasformazione T fa corrispondere ad un punto P(x;y) un punto P'(x';y') in modo tale che PC=P'C'. E' facile ricavare da questa uguaglianza l'equazione generale
di una simmetria centrale che è la seguente:
Nota che la simmetria centrale può essere vista anche come una rotazione di 180 gradi. |
Proprietà fondamentali.
Si può dimostrare che una simmetria centrale gode delle seguenti proprietà:
- conserva le distanze;
- trasforma una figura geometrica in una figura congruente a quella data;
- l'unico punto fisso della trasformazione è il centro di simmetria C.
- la trasformazione fissa tutte le rette passanti per il centro di simmetria C. Invece una retta non passante per il centro di simmetria viene trasformata in una retta parallela a quella data.
Esempio 1.
Consideriamo la seguente simmetria centrale T di centro (0;2). Per capire come agisce T , vediamo come viene trasformato da T il triangolo isoscele ABC (nelle figura rappresentato in rosso) di vertici A(1 ; 0), B(3 ; 0), C(1 ; 2) . Il punto A ha come immagine il punto A'( -1; 4). Il punto B ha come immagine il punto B'(-3 ; 4). Il punto C ha come immagine il punto C'( -1; 2). Notiamo che la figura trasformata (nel disegno il triangolo in blu) è un triangolo rettangolo uguale a quello di partenza.
Esempio 2.
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Consideriamo la simmetria centrale T con centro di simmetria l'origine (0;0), nelle figure seguenti evidenziata in verde. Per capire come agisce T , vediamo come viene trasformato da T un omino stilizzato (nelle figura rappresentato in blu) Notiamo che la figura trasformata (nel disegno l'omino rosso) è uguale a quello di partenza. Notiamo che se applicassimo di nuovo la simmetria alla figura trasformata riotterremmo di nuovo la figura di partenza. Questa è una proprietà generale di una simmetria centrale. In linguaggio tecnico si dice che una simmetria centrale è involutoria. |
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Vediamo come T agisce su alcuni grafici di funzioni. Consideriamo la parabola di equazione y=x2, nelle figura in rosso. Il grafico trasformato è quello della parabola blu y=-x2. |
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Applichiamo la stessa trasformazione al grafico della funzione y=sen(x), nella figura in rosso. Il grafico trasformato è in blu. |
Esistono delle figure particolari che possiedono un centro di simmetria. Se applichiamo ad esse una simmetria centrale restano invariate. Nella figura un esempio, un esempio di Rosa di Grandi. Il centro di simmetria è evidenziato in verde.
