Negli esempi che seguono la trasformazione applicata è sempre la stessa, ovvero applicheremo più volte di seguito la stessa trasformazione geometrica. Si può parlare a ragione quindi di iterazione del procedimento. La figura a cui applicheremo la trasformazione sarà nei primi esempi una circonferenza e successivamente un triangolo.
Esempio 1
Consideriamo la trasformazione
T
2
:
già introdotta nell'
esempio 1
della pagina precedente ed applichiamola ad una circonferenza di
raggio 1 e centro nel punto (1,0) del piano cartesiano.
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| (fig. 1) | (fig. 2) |
Se continuassimo ad applicare la trasformazione vedremmo la circonferenza ruotare intorno all'origine del sistema di riferimento. Per visualizzare questo "movimento" supponiamo di lasciare l'immagine ottenuta da ogni trasformazione senza cancellarla dallo schermo e consideriamo tutti i passi necessari per fare in modo che la circonferenza torni nella posizione iniziale. La figura ottenuta dopo aver applicato otto volte la rotazione di 45 gradi è la seguente:
Figure di questo genere si ottengono tutte le volte che la rotazione avviene secondo un angolo sottomultiplo dell'angolo giro.
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Queste figure ricordano moltissimo le Rose di Grandi, una famiglia di curve che la cui forma ricorda delle margherite. Il nome deriva da quello matematico Guido Grandi (1671-1742) che le ha studiate.
Ecco alcuni esempi con indicata l'equazione corrispondente (in coordinate polari):
r=cos(2t) |
r=cos(4t) |
r=cos(8t) |
r=cos(5/3t) |
Esempio 2
In modo analogo consideriamo ora la trasformazione affine
T
:
applicata alla circonferenza di raggio 1 e centro nell'origine degli assi
(confronta con la rotazione di 30 gradi!). Applicando più volte
la trasformazione alla figura ottenuta ricaviamo infine la sezione di una
conchiglia:
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| (fig. 6: una conchiglia) | (fig. 7: la sezione di un Nautilus) |
Esempio 3
Consideriamo la trasformazione affine
T
:
applicata alla circonferenza di raggio 1 e centro nell'origine degli assi
(confronta con l'applicazione usata nell'esempio precedente). Applicando
più volte la trasformazione alla figura ottenuta ricaviamo infine:
Esempio 4
Vediamo ora la stessa tecnica degli esempi precedenti applicata ad un triangolo.
Applichiamo al triangolo una rotazione di 45 gradi (fig. 10) ed una rotazione di 30 gradi (fig. 11).
(fig. 10: Rotazione di 45 gradi)
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(fig. 11: Rotazione di 30 gradi)
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Nella pagina seguente puoi trovare altre figure ottenute componendo trasformazioni geometriche.