Definizioni
Una similitudine è un tipo particolare di trasformazione affine.
Ricordiamo che una trasformazione affine è definita dalle seguenti
equazioni:
Una similitudine è un'affinità in cui risulti:
- c = -b e d = a oppure
- c = b e d = -a .
Da questa relazione segue che una similitudine può essere definita in due soli modi :
-
oppure
-
.
Da un punto di vista strettamente geometrico, in una similitudine resta
invariato il rapporto fra le distanze di coppie di punti corrispondenti
(A,B) e (A', B') ovvero:
.
Il numero
k
positivo definito da
si dice
rapporto di similitudine
.
Notiamo che le omotetie, le traslazioni, le rotazioni sono tutte tipi particolari di similitudini.
Proprietà fondamentali.
Si può dimostrare che una similitudine gode delle seguenti proprietà:
- conserva il parallelismo delle rette;
- trasforma angoli in angoli di uguale ampiezza;
- trasforma una figura geometrica in una figura simile a quella data;
- se la figura S' è l'immagine corrispondente di una figura S, allora Area (S')= k 2 Area (S).
Esempio.
Consideriamo la seguente affinità T di equazioni:
.Si tratta di una similitudine con k = 2,061552812809...
Per capire come agisce T , vediamo come viene trasformato da T il triangolo isoscele ABC (nelle figura rappresentato in rosso) di vertici A(-1 ; 1), B(-2 ; 0), C(-1 ; -1). Il punto A ha come immagine il punto A'(-0,5 ; 1,5). Il punto B ha come immagine il punto B'(1 ; -1). Il punto C ha come immagine il punto C'(3,5 ; 0,5). Notiamo che la figura trasformata (nel disegno il triangolo in blu) è un triangolo isoscele e simile a quello di partenza.
