L'albero di Pitagora (fig. 1) non è un frattale in senso stretto ma costituisce un'interessante applicazione delle trasformazioni geometriche.
Consideriamo un quadrato di punti (fig. 2) ed applichiamo ad esso due trasformazioni geometriche (per l'esattezza due similitudini) in modo da ottenere due nuovi quadrati come nelle figura successiva (fig. 3). Le trasformazioni geometriche sono scelte in modo che il triangolo bianco compreso fra i tre quadrati sia un triangolo rettangolo. In questo modo l'area del quadrato di partenza è uguale alla somma delle aree dei due quadrati immagine (per questo motivo la figura finale prende il nome di albero di Pitagora).
Il procedimento viene iterato senza cancellare le figure ottenute in precedenza, fino ad ottenere la figura 1.
Passo 0
(fig. 2) |
Passo 1
(fig. 3) |
Passo 2
(fig. 4) |
Passo 3
(fig. 5) |
Passo 5
(fig. 6) |
Passo 6
(fig. 7) |
Il frattale vero e proprio ottenuto dall'iterazione delle due trasformazioni è il seguente e costituisce la chioma dell'albero di Pitagora:
Nell'esempio presentato, il triangolo rettangolo delimitato dai quadrati è un triangolo rettangolo isoscele. E' possibile costruire alberi di pitagora considerando triangoli rettangoli scaleni. Si otterranno risultati analoghi.
Si noti inoltre che ciascuno dei rami dell'albero descrive una spirale logaritmica.