Durante una passeggiata in campagna o in un bosco si è immersi nella natura fra montagne, alberi, erbe, fiori di tutti i tipi e di tutte le dimensioni. A parte l'indiscutibile bellezza dell'ambiente, un occhio più esperto può cogliere nella forma di tutti questi oggetti delle curiose proprietà geometriche. La geometria che si studia nelle scuola si basa sugli Elementi di Euclide un'opera di fondamentale importanza per la matematica, scritta intorno al 300 a.C. Gli Elementi sono stati il testo di riferimento per tutti gli studenti per più di 2000 anni in quanto contengono tutti i teoremi di geometria più importanti, dai criteri di uguaglianza dei triangoli fino al Teorema di Pitagora.
In effetti, la matematica è straordinariamente efficace nel descrivere l'universo che ci circonda. Così infatti scriveva Galileo :" (L'universo) è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto." (Galileo Galilei, Il Saggiatore, 1623)
Le forme che si incontrano però non possono essere studiate applicando gli assiomi della geometria euclidea che si insegnano usualmente nelle scuole. Infatti non si tratta (tranne pochissime eccezioni) di enti geometrici nel senso euclideo del termine, ovvero di poligoni o poliedri più o meno regolari. Tutto cio' che si incontra in natura è molto più complesso, frammentato, frastagliato. Gli oggetti della natura (alberi, montagne, nuvole, foglie, felci etc. ) sono tutti caratterizzati da un carattere irregolare e non possono essere studiati usando le proprietà della geometria euclidea (rette, poligoni, cerchi). Questo ha giustificato l'introduzione di un nuovo tipo di geometria da parte del matematico Benoit B. Mandelbrot (1975): la geometria frattale . Si tratta in effetti di un metodo matematico per affrontare le apparenti irregolarità del mondo naturale e rivelarne la struttura nascosta.
Consideriamo ad esempio una comune felce. La cosa che si nota immediatamente è che una parte della felce è simile a tutta la felce stessa, ovvero è una copia in piccolo della foglia completa. In questo modo si può procedere innumerevoli volte fino a ridursi a parti sempre più piccole. Questa proprietà prende il nome di autosimilarità (o autosomiglianza) : una parte dell'oggetto è simile al tutto.
In geometria gli oggetti che sono autosimili vengono definiti frattali e possono essere costruiti seguendo precise regole di tipo matematico. La felce dunque è un frattale. Si tratta quindi di un oggetto geometrico e come tale si può ottenere usando delle tecniche matematiche. Tali tecniche saranno appunto illustrate nella lezione.